Question

設銳角△ABC中，2sin²A-cos2A=2．
（1）求∠A的大小；
（2）求（cosB+sinB）²+sin2C的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦函數公式化簡已知等式的左邊第一項，得到關于cos2A的方程，求出方程的解得到cos2A的值，由A為銳角得到2A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）由A的度數，根據內角和定理得到B與C的關系，用B表示出C，代入所求的式子中，利用三角函數的恒等變形化為一個角的正弦函數，由三角形為銳角三角形及A的度數，得到B的具體范圍，進而得到這個角的范圍，利用正弦函數的值域即可得到所求式子的取值范圍．

解答：解：（1）由2sin²A-cos2A=2得：cos2A=-

1

2

，
因為△ABC是銳角三角形，所以2A∈（0，π），
所以2A=

2π

3

，所以A=

π

3

；
（2）因為C=

2π

3

-B，
所以（cosB+sinB）²+sin2C

=1+sin2B+sin( 4π 3 -2B) =1+sin2B- 3 2 cos2B+ 1 2 sin2B =1+ 3 2 sin2B- 3 2 cos2B =1+ 3 sin(2B- π 6 )

因為△ABC是銳角三角形，A=

π

3

，所以B∈(

π

6

，

π

2

)
所以2B-

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
所以（cosB-sinB）²+sin2C的取值范圍是(1+

3

2

，1+

3

]．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，正弦函數的值域，以及三角函數的恒等變換與化簡求值，涉及的知識還有兩角和與差的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．