Question

(理)已知二次函數f(x)=x²+2bx+c(b、c∈R)滿足f(1)=0,且關于x的方程f(x)+x+b=0的兩個實數根分別在區間(-3,-2)、(0,1)內.

(1)求實數b的取值范圍;

(2)若函數F(x)=log_bf(x)在區間(-1-c,1-c)上具有單調性,求實數c的取值范圍.

(文)已知二次函數f(x)=x²+2bx+c(b、c∈R).

(1)若f(x)≤0的解集為{x|-1≤x≤1},求實數b、c的值;

(2)若f(x)滿足f(1)=0,且關于x的方程f(x)+x+b=0的兩個實數根分別在區間(-3,-2)、(0,1)內,求實數b的取值范圍.

Answer 1

答案：(理)解：(1)由題,知f(1)=1+2b+c=0,∴c=-1-2b.

記g(x)=f(x)+x+b=x²+(2b+1)x+b+c=x²+(2b+1)x-b-1,

則即b∈().

(2)令u=f(x).∵0＜＜b＜＜1,∴log_bu在(0,+∞)上是減函數.而-1-c=2b＞-b,函數f(x)=x²+2bx+c的對稱軸為x=-b,∴f(x)在區間(-1-c,1-c)上單調遞增.從而函數F(x)=log_bf(x)在(-1-c,1-c)上為減函數.

且f(x)在區間(-1-c,1-c)上恒有f(x)＞0,只需要f(-1-c)≥0,

∴.

(文)解：(1)由題,知x₁=-1,x₂=1是方程x²+2bx+c=0的兩個根.

由韋達定理,得

即∴b=0,c=-1.

(2)由題,知f(1)=1+2b+c=0,∴c=-1-2b.2分記g(x)=f(x)+x+b=x²+(2b+1)x+b+c=x²+(2b+1)x-b-1,則

即b∈(,).