Question

設f（x）=ax³+bx+c（a≠0）是奇函數，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x-6y-7=0垂直，導函數f′（x）的最小值為-12，
（1）求a，b，c的值；        
（2）求函數f（x）在[-1，3]上的最值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為奇函數，推導出c=0．由f′（x）=3ax²+b的最小值為-12，推導出b=-12．由直線x-6y-7=0的斜率為

1

6

，推導出a=2．
（2）由（1）知f（x）=2x³-12x，從而得到f′（x）=6x²-12，由此能求出f（x）在[-1，3]上的最值．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，∴c=0．
∵f′（x）=3ax²+b的最小值為-12，∴b=-12．
又直線x-6y-7=0的斜率為

1

6

，
因此f′（1）=3a+b=-6，∴a=2，b=-12，c=0．
（2）由（1）知f（x）=2x³-12x，
∴f′（x）=6x²-12=6（x+

2

）（x-

2

），
列表如下：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	Z	極大	↓	極小	↑

所以函數f（x）的單調增區間是（-∞，-

2

）和（

2

，+∞）．
∵f（-1）=10，f（

2

）=-8

2

，f（3）=18，
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（

2

）=-8

2

．

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查函數在閉區間上的最值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的合理運用．