Question

已知函數f（x）=ax²+bx+c+4lnx的極值點為1和2．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）試討論方程f（x）=3x²根的個數；
（Ⅲ）設h（x）=

1

4

f（x）-

1

4

x2+

3

2

x，斜率為k的直線與曲線y=h（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，試比較

1

k

與

x1+x2

2

的大小，并給予證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為函數極值點是在函數的導數等于0時得到，所以，對函數f（x）求導，把x=1和x=2代入導數，等于0，就可求出a，b的值．
（Ⅱ）由f（x）=3x²得x²-6x+c+4lnx=3x²，c=2x²+6x-4lnx，設g（x）=2x²+6x-4lnx，x∈（0，+∞）．要求方程f（x）=3x²根的個數，也即求g（x）與x軸交點個數，利用導數可得．
（Ⅲ）把f（x）=3x²代入h（x）=

1

4

f（x）-

1

4

x2+

3

2

x，因為斜率為k的直線與曲線y=h（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，所以可用A，B點坐標表示k，這樣，k就與

x1+x2

2

用相同參數表示，再利用對數函數的單調性，就可證明．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2ax+b+

4

x

=

2ax2+bx+4

x

，x∈（0，+∞），
由y=f（x）的極值點為1和2，
∴2ax²+bx+4=0的根為1和2，
∴

2a+b+4=0 8a+2b+4=0.

解得

a=1 b=-6.

（Ⅱ）由f（x）=3x²得x²-6x+c+4lnx=3x²，c=2x²+6x-4lnx，設g（x）=2x²+6x-4lnx，x∈（0，+∞）.g′(x)=4x+6-

4

x

=

2(2x2+3x-2)

x

=

2(2x-1)(x+2)

x

，
當x變化時，g'（x）與g（x）的變化情況如下表：

x	(0， 1 2 )	( 1 2 ，+∞)
g'（x）	-	+
g（x）	單調遞減	單調遞增

由此得，函數y=g（x）的單調減區間為(0，

1

2

)，單調增區間為(

1

2

，+∞)．
∴g(x)min=2×

1

4

+6×

1

2

-4ln

1

2

=

7

2

+4ln2，
且當x正向趨近于0時，g（x）趨近于+∞，
當x趨近于+∞時，g（x）趨近于+∞．
∴當c=

7

2

+4ln2時，方程只有一解；
當c＞

7

2

+4ln2時，方程有兩解；
當c＜

7

2

+4ln2時，方程無解．
（Ⅲ）

1

k

＜

x1+x2

2

．
證明：由（Ⅰ）得f（x）=x²-6x+c+4lnx，
∴h(x)=lnx+

c

4

，k=

lnx2-lnx1

x2-x1

，x₂＞x₁＞0．
要證

1

k

＜

x1+x2

2

，即證

x2-x1

lnx2-lnx1

＜

x1+x2

2

，
只需證

x2 x1 -1

ln x2 x1

＜

x2 x1 +1

2

，（因為

x2

x1

＞1，ln

x2

x1

＞0）
即證ln

x2

x1

＞

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．只需證ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

＞0．（*）
設φ(x)=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），∵φ′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）單調遞增，φ（x）＞φ（1）=0，
∴不等式（*）成立．
∴

1

k

＜

x1+x2

2

．

點評：本題考查了應用導數求極值，以及函數的單調區間，做題時要細心，避免出錯．