Question

已知函數f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求函數f（x）的零點；
（2）若函數f（x）在區間（0，2）上有兩個不同的零點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分類討論，去掉絕對值，化簡函數的解析式，求出函數的零點．
（2）把函數解析式化為分段函數的形式，在每一段上研究函數的零點情況，從而求出k的取值范圍．

解答：解：（1）∵k=2，當x≥1或x≤-1時，2 x²+2x-1=0，解方程得x=

-1- 3

2

．
當-1＜x＜1時，2x+1=0，x=-

1

2

，所以函數f（x）的零點為

-1- 3

2

，-

1

2

．（3分）
（2）∵f(x)=

kx+1，x∈(0，1] 2x2+kx-1，x∈(1，2)

，（4分）
①兩零點在（0，1]，（1，2）各一個：由于f（0）=1＞0，
∴

f(1)＜0 f(2)＞0

?-

7

2

＜k＜-1．（6分）
②兩零點都在（1，2）上時，顯然不符合根與系數的關系 x₁x₂=-

1

2

＜0．
綜上，k的取值范圍是：-

7

2

＜k＜-1．（8分）

點評：本題考查函數零點的求法，以及函數零點存在的條件，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．