Question

已知直線l被橢圓

x2

36

+

y2

9

=1所截得的弦的中點為M（4，2），則l被橢圓截得的弦長為

10

．

Answer 1

分析：設直線l的方程為 y-2=k（x-4），代入橢圓的方程化簡，由x₁+x₂═

32k2-16k

1+4k2

=8 解得k值，再利用弦長公式求解．

解答：解：由題意得，斜率存在，設為 k，則直線l的方程為 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，
代入橢圓的方程化簡得  （1+4k²）x²+（16k-32k²）x+64k²-64k-20=0，
∴x₁+x₂═

32k2-16k

1+4k2

=8，解得 k=-

1

2

，∴x₁x₂=14，l被橢圓截得的弦長為

1+ 1 4

×

64-56

=

10

故答案為

10

．

點評：本題考查一元二次方程根與系數的關系，線段的中點公式，得到（1+4k²）x²+（16k-32k²）x+64k²-64k-20=0是解題的關鍵．