Question

如圖，A是拋物線x²=4y上異于原點的任意一點，F為拋物線的焦點，l為拋物線在A點處的切線，點B、C在拋物線上，AB⊥l且交y軸于M，點A、F、C三點共線，直線BC交y軸于N．
（1）求證：|AF|=|MF|；
（2）求|MN|的最小值．

Answer 1

（1）證明：設A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵x²=4y，∴y=，∴，∴直線l的斜率k₁=
∵AB⊥l，∴k_AB=-，∴直線AB的方程為y-y₀=-（x-x₀）
令x=0，則y=y₀+2，∴M（0，y₀+2）
∵F（0，1），∴|MF|=y₀+1
由拋物線的定義可得|AF|=y₀+1，
∴|AF|=|MF|；
（2）解：直線AB的方程代入拋物線方程，消去y可得x²+x-2-y₀=0
∴x₁+x₀=-，∴x₁=-x₀-
設直線AC：y=kx+1代入拋物線方程，消去y可得x²-4kx-4=0，∴x₀x₂=-4，∴x₂=-
∴k_BC=-，∴直線BC的方程為y-y₂=（-）（x-x2）
令x=0得y=（-）（-x₂）+y₂，代入x₂=-，y₂=，化簡得y=-1-
∴N（0，-1-），∴|MN|=y₀+2+1+=+3≥3+2當且僅當x₀⁴=32時等號成立，
∴|MN|的最小值為3+2．
分析：（1）設A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求出直線l的斜率，可得AB的斜率，從而可得直線AB的方程，令x=0，確定M的坐標，從而可得|MF|=y₀+1，由拋物線的定義可得|AF|=y₀+1，則可得結論；
（2）先確定BC的斜率，進而可得BC的方程，進一步確定N的坐標，可得|MN|，利用基本不等式，可得|MN|的最小值．
點評：本題考查拋物線的定義，考查直線方程的求解，考查直線與拋物線的位置關系，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．