Question

已知點P（4，4），圓C：（x-m）²+y²=5（m＜3）與橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)有一個公共點A（3，1），F₁，F₂分別是橢圓的左右焦點，直線PF₁與圓C相切．
（1）求m的值； 
（2）求橢圓E的方程．

Answer 1

分析：（1）把點A坐標代入圓C方程及m＜3即可求得m值；
（2）直線PF₁的斜率為k，代入點斜式可得直線PF₁的方程，根據直線PF₁與圓C相切得關于k的方程，解出k，然后按k值進行討論，求出直線PF₁與x軸交點橫坐標可得c值，由橢圓定義可得a，進而求出b；

解答：解：（1）點A（3，1）代入圓C方程，得（3-m）²+1=5，
∵m＜3，∴m=1，；
（2）設直線PF₁的斜率為k，則PF₁：y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0，
因為直線PF₁與圓C相切，所以

|k-0-4k+4|

k2+1

=

5

，解得k=

11

2

，或k=

1

2

．
當k=

11

2

時，直線PF₁與x軸交點橫坐標為

36

11

，不合題意，舍去．
當k=

1

2

時，直線PF₁與x軸交點橫坐標為-4，所以c=4，F₁（-4，0），F₂（4，0），
所以2a=|AF1|+|AF2|=5

2

+

2

=6

2

，a=3

2

，a²=18，b²=2，
所以橢圓E的方程為

x2

18

+

y2

2

=1．

點評：本題考查圓的方程、橢圓方程、直線方程及其位置關系，考查學生分析解決問題的能力．