Question

（2013•長春一模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O為AC中點．
（1）證明：A₁O⊥平面ABC；
（2）若E是線段A₁B上一點，且滿足VE-BCC1=

1

12

VABC-A1B1C1，求A₁E的長度．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形三線合一，可得A₁O⊥AC，進而由側面AA₁C₁C⊥底面ABC，結合面面垂直的性質定理可得A₁O⊥平面ABC；
（2）由VE-BCC1=

1

12

VABC-A1B1C1，可得BE=

1

4

BA1，即A1E=

3

4

A1B，解Rt△A₁OB求出A₁B，進而可得A₁E的長度

解答：證明：（1）∵AA₁=A₁C=AC=2，且O為AC中點，
∴A₁O⊥AC，
又∵側面AA₁C₁C⊥底面ABC，側面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，A₁O?側面AA₁C₁C，
∴A₁O⊥平面ABC．（6分）
解：（2）VE-BCC1=

1

12

VABC-A1B1C1=

1

4

VA1-BCC1，
因此BE=

1

4

BA1，
即A1E=

3

4

A1B，
又在Rt△A₁OB中，A₁O⊥OB，A1O=

3

，BO=1
可得A₁B=2，
則A₁E的長度為

3

2

．（12分）

點評：本小題以斜三棱柱為考查載體，考查平面幾何的基礎知識．同時題目指出側面的一條高與底面垂直，搭建了空間直角坐標系的基本架構．本題通過分層設計，考查了空間直線垂直，以及線面成角等知識，考查學生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．