Question

已知雙曲線

x2

2

-y2=1，過點P（0，1）作斜率k＜0的直線l與雙曲線恰有一個交點．
（1）求直線l的方程；
（2）若點M在直線l與x≥0，y≥0所圍成的三角形的三條邊上及三角形內運動，求z=-x+y的最小值．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是直線的一般式方程，及簡單的線性規劃，（1）由過點P（0，1）作斜率k＜0的直線l與雙曲線

x2

2

-y2=1恰有一個交點．聯立直線與雙曲線的方程，則易得到直線的斜率，代入即可得到直線的方程．（2）我們畫出直線l與x≥0，y≥0所圍成的三角形，求出三角形的各個頂點，代入即可得到目標函數z=-x+y的最小值．

解答：解：（1）由于直線l過P（0，1）點，
設直線l的方程為：y=kx+1（k＜0）
將直線方程代入雙曲線方程

x2

2

-y2=1得：
（

1

2

-k²）x²-2kx-2=0①
由直線l與雙曲線恰有一個交點，則方程①的△=0
即4k²+8（

1

2

-k²）=0
解得k=-1
∴直線l的方程為：y=-x+1
即：x+y-1=0
（2）直線l與x≥0，y≥0所圍成的三角形如下圖示：

由圖可知：當經x=1，y=0時，目標函數z=-x+y有最小值-1

點評：在求直線方程時，應先選擇適當的直線方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況．