Question

設數列的前項和為 已知
（I）設，證明數列是等比數列；     
（II）求數列的通項公式.

Answer 1

（I）見解析；（II） 。

此題主要考查了等比數列的性質及其前n項和，運用了錯位相減法求數列{an}的前n項和，這個方法是高考中常用的方法，同學們要熟練掌握它
（Ⅰ）由題意只要證明bnbn-1
為一常數即可，已知S_n+1=4a_n+1，推出b₁的值，然后繼續遞推相減，得a_n+1-2an=2（a_n-2a_n-1），從而求出bn與bn-1的關系；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）{bn}是等比數列，可得bn}的通項公式，從而證得數列{a_n 2n }是首項為1 2 ，公差為1 2 的等差數列，最后利用錯位相減法，求出數列{an}的通項公式
解：（I）由及，有
 
由，．．．① 　則當時，有．．．．．②
②－①得
又，
是首項，公比為２的等比數列．
（II）由（I）可得，
數列是首項為，公差為的等差數列．
，