Question

數列{an}(n∈N﹡)中,a1=0,當3an<n2時，an+1=n2,當3an>n2時，an+1=3an.求a2，a3，a4，a5,猜測數列的通項an并證明你的結論.

 

Answer 1

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【解析】

試題分析：先由遞推公式分別求出的值，猜測數列的通項，再用數學歸納法證明即可.

試題解析：當時，，則，知，因為，由數列定義知.因為,由數列定義知.又因為,由定義知

4分

由此猜測:當n≥3時， 6分

下面用數學歸納法去證明:當n≥3時，3an>n2.當n=3時，由前面的討論知結論成立.假設當n=k(k≥3)時，成立.則由數列定義知,從而.所以，即當n=k+1(k≥3)時，成立. 故當n≥3時，.而.因此. 11分

綜上所述，當時，，，( n≥3) 13分

考點：推理與證明、數學歸納法.