Question

已知i，m，n是正整數，且1＜i≤m＜n．
（1）證明nⁱP_mⁱ＜mⁱP_nⁱ；
（2）證明（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

Answer 1

分析：（1）先將要證的不等式變形為分別含m，n的式子，再利用排列數公式，據不等式的性質得證
（2）利用二項式定理再利用（1）的結論和排列數和組合數的關系得證．

解答：證明：（1）對于1＜i≤m有p_mⁱ=m••（m-i+1），

p i m

mi

=

m

m

•

m-1

m

•

m-i+1

m

，
同理

p i n

ni

=

n

n

•

n-1

n

••

n-i+1

n

，
由于m＜n，對整數k=1，2，i-1，有

n-k

n

＞

m-k

m

，
所以

p i n

ni

＞

p i m

mi

，即mⁱp_nⁱ＞nⁱp_mⁱ．
（2）由二項式定理有(1+m)n=

n

i=0

mi

C

i n

，
(1+n)m=

m

i=0

ni

C

i m

，
由（1）知mⁱp_nⁱ＞nⁱp_mⁱ（1＜i≤m＜n），
而

C

i m

=

p i m

i!

，

C

i n

=

p i n

i!

，
所以，mⁱC_nⁱ＞nⁱC_mⁱ（1＜i≤m＜n）．
因此，

m

i=2

mi

C

i n

＞

m

i=2

ni

C

i m

．
又m⁰C_n⁰=n⁰C_m⁰=1，mC_n¹=nC_m¹=mn，mⁱC_nⁱ＞0（1＜i≤m＜n）．
∴

n

i=0

mi

C

i n

＞

m

i=0

ni

C

i m

．
即（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

點評：本小題考查排列、組合、二項式定理、不等式的基本知識和邏輯推理能力．