Question

（08年安徽皖南八校聯(lián)考）（本小題滿分14分）

如圖所示，已知橢圓：（）的離心率為，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)在橢圓上，且（），定點(diǎn) (一4，0)，當(dāng)＝1時，有．

（1）       求證：當(dāng)＝1時，⊥；

（2）       求橢圓的方程．

（3）       當(dāng)、兩點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，試判斷是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時、兩點(diǎn)所在直線方程，若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

解析：  （1）證明：設(shè)（，），（，），（，），，則（-，）

=（-，），當(dāng)＝1時，，

∴=，+=2.…………………………………………………………………2分

    由、兩點(diǎn)在橢圓上，∴ ，，∴.

    若，則（舍），∴，∴（0，），

（+4，）.

∵=0，∴⊥.…………………………………………………………4分

（注：由＝1，得是的中點(diǎn)，再利用橢圓對稱性或由焦半徑公式證明參照得分）

    （2）解：當(dāng)＝1時，不妨設(shè)，，

    ∴.……………………………………………………………6分

    又，，∴.

    ∵，∴，橢圓的方程為. …………………………………8分

    （3）解：△=， ………………9分

    設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立 ，

得，∴.…………………10分

記，，則

，

∴當(dāng)，當(dāng)，即時取等號.

并且，當(dāng)時，，

當(dāng)不存在時. ………………………………………………13分

綜上有最大值，最大值為.

此時，直線的方程為或 ……………………………14分