Question

已知曲線C：過C上一點作一斜率為的直線交曲線C于另一點，點列（＝1，2，3，???）的橫坐標構成數列，其中.

（1）求與的關系式；

（2）求證：是等比數列；

（3）求證：.

Answer 1

解：（I）過C：上一點作斜率為的直線交C于另一點，

則         

于是有：.                                     

（II）記，則由（I）得：  

因為，故，  

因此數列是等比數列                                       

（III）由（II）可知：，則         

∴                                                    

若為奇數：

                        

于是：①當為偶數時：

②當為奇數時，為偶數，于是有：

＝，

綜合①②可知原不等式得證.