Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）+

2

（A＞0，ω＞0）圖象上的一個最高點的坐標為（

π

8

，2

2

），則此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點（

3

8

π，0），若φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）試求這條曲線的函數表達式；
（2）求函數的對稱中心；
（3）用”五點法”畫出（1）中函數在[0，π]上的圖象；
（4）試說明y=sin2x的圖象是由y=f（x）的圖象經過怎樣的變換得到的？

Answer 1

分析：（1）根據條件中所給的函數的最高點的坐標，寫出振幅，根據兩個相鄰點的坐標寫出周期，把一個點的坐標代入求出初相，寫出解析式．
（2）根據正弦曲線的對稱中心，使得函數的自變量等于對稱中心的橫標求出結果，注意縱標是

2

．
（4）y=f（x）先向下平移

2

個單位得到f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）再橫標不變縱標變化為原來的

2

2

得到f（x）=sin（2x+

π

4

）再向右平移

π

8

個單位得到y=sin2x．

解答：解：（1）∵函數f（x）=Asin（ωx+φ）+

2

最高點的坐標為（

π

8

，2

2

），
則此點到相鄰最低點間的曲線與平衡軸交于點（

3

8

π，0），
∴A=

2

，

T

4

=

π

4

，
∴T=π，ω=2
∴f（x）=

2

sin（2x+φ）+

2

∵過（

π

8

，2

2

）點，
∴2

2

=

2

sin（2x+φ）+

2

∵φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
∴φ=

π

4

，
∴函數的解析式是f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+

2

（2）∵正弦曲線的對稱中心是（kπ，0）
∴2x+

π

4

=kπ，k∈z
∴x=

kπ

2

-

π

8

，
∴函數的對稱中心是（

kπ

2

-

π

8

，

2

）
（3）

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
f（x）	1+ 2	2 2	2	0	2	1+ 2

圖形如右圖

（4）y=f（x）先向下平移

2

個單位得到
f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）再橫標不變縱標變化為原來的

2

2

得到
f（x）=sin（2x+

π

4

）再向右平移

π

8

個單位得到y=sin2x

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，解題的關鍵是從題設的條件中求出A，ω，φ這幾個量來，本題考查到了求曲線的對稱中心以及五點法作圖，圖象的變換，本題基本上涉及了三角函數的重要知識，綜合性較強，求φ是本題中的一個易錯點，由于本題代入的點是頂點，求解時情況只有一種，若不是頂點時要注意代入的點是增區間上的點還是減區間上的點，以確定相位的值，求出正確的φ．