Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，f（x）=

x2-2x-3  (x＞0) a             (x=0) bx2+cx+d(x＜0)

．
（1）分別求a，b，c，d的值；  
（2）畫出f（x）的簡圖并寫出其單調區間．

Answer 1

分析：（1）因為奇函數f（0）=0，得出a的值，再根據函數當x＞0的表達式結合函數為奇函數，可求出當x＜0的f（x）表達式，最后比較系數可得得b、c、d的值．
（2）由（1）得到的函數表達式，結合二次函數的圖象與性質，不難分別作出當x＜0和x＞0時函數圖象對應的拋物線，最后根據所得圖象可給出函數f（x）的單調區間．

解答：解：y=f（x）是定義在R上的奇函數，則f（0）=0，得a=0，
設x＜0時，則-x＞0，得f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3
∵f（x）為R上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x），得x＜0時f（x）=-x²-2x+3
結合題意，比較系數得b=-1，c=-2，d=3．-----------（6分）
（2）由（1）知，函數表達式為f（x）=

x2-2x-3  (x＞0) a             (x=0) -x2-2x+3(x＜0)

由此可得，當x＜0時函數的圖象是開口向下的拋物線，
關于直線x=-1對稱，
當x＞0時，函數的圖象是開口向上的拋物線，
關于直線x=1對稱，
而f（0）=0說明原點在函數圖象上，因此函數的圖象如右圖------------（10分）
由圖象可得：f（x）的單調減區間為（-1，1），單調增區間為（-∞，-1），（1，+∞）---------（12分）

點評：本題以分段函數為例，求函數的表達式并作函數圖象，求函數的單調區間，著重考查了基本初等函數的單調性與奇偶性等知識，考查了函數圖象的作法，屬于基礎題．