Question

（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，D，D₁分別是線段BC，B₁C₁的中點，P是線段AD的中點．

（I）在平面ABC內(nèi)，試做出過點P與平面A₁BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD₁A₁；
（II）設（I）中的直線l交AB于點M，交AC于點N，求二面角A﹣A₁M﹣N的余弦值．

Answer 1

（I）見解析（II）

（I）在平面ABC內(nèi)，過點P作直線l∥BC
∵直線l?平面A₁BC，BC?平面A₁BC，
∴直線l∥平面A₁BC，
∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，結合l∥BC得AD⊥l
∵AA₁⊥平面ABC，l?平面ABC，∴AA₁⊥l
∵AD、AA₁是平面ADD₁A₁內(nèi)的相交直線
∴直線l⊥平面ADD₁A₁；
（II）連接A₁P，過點A作AE⊥A₁P于E，過E點作EF⊥A₁M于F，連接AF
由（I）知MN⊥平面A₁AE，結合MN?平面A₁MN得平面A₁MN⊥平面A₁AE，
∵平面A₁MN∩平面A₁AE=A₁P，AE⊥A₁P，∴AE⊥平面A₁MN，
∵EF⊥A₁M，EF是AF在平面A₁MN內(nèi)的射影，
∴AF⊥A₁M，可得∠AFE就是二面角A﹣A₁M﹣N的平面角
設AA₁=1，則由AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1
又∵P為AD的中點，∴M是AB的中點，得AP=，AM=1
Rt△A₁AP中，A₁P==；Rt△A₁AM中，A₁M=
∴AE==，AF==
∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==
即二面角A﹣A₁M﹣N的余弦值等于．