Question

（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程

      已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與軸的正半軸重合．

直線的參數方程為：（t為參數），曲線的極坐標方程為：．

（Ⅰ）寫出的直角坐標方程，并指出是什么曲線；

（Ⅱ）設直線與曲線相交于、兩點，求值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）所以曲線的直角坐標方程為，它是以為圓心，半徑為的圓.

（Ⅱ）

【解析】本試題主要考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及直線與圓的位置關系，求解弦長的運用。

（1）根據已知的極坐標方程，轉化為直角坐標關系式，得到普通方程

（2）利用直線的參數方程與圓的方程聯立方程組，得到關于參數t的一元二次方程，然后借助于韋達定理，表示出弦長的求解。

解：（Ⅰ）

，

，   2分

由得：

所以曲線的直角坐標方程為，…………………………4分

它是以為圓心，半徑為的圓. …………………………………………5分

（Ⅱ）把代入整理得，……7分

設其兩根分別為、，則，…………………………8分

 

……………………………………10分

另解：

化直線參數方程為普通方程，然后求圓心到直線距離，再用垂徑定理求得的值．