Question

已知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1（a為常數）．
（1）求f（x）的遞增區間；
（2）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值時x的集合．

Answer 1

分析：（1）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即可求得f（x）的遞增區間；
（2）由x∈[0，

π

2

]，可求得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，從而可求得）2sin（2x+

π

6

）的最大值，再由f（x）的最大值為4可求a的值；
（3）由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

即可求出使f（x）取最大值時x的集合．

解答：解：（1）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
所以，遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴2sin（2x+

π

6

）的最大值為2，
∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1在∈[0，

π

2

]的最大值為4，
∴a+3=4，
∴a=1．
（3）∵2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，
∴x=kπ+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）取最大值時x的集合{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．

點評：本題考查復合三角函數的單調性與三角函數的最值，考查正弦函數的性質，考查分析與運算能力，屬于中檔題．