Question

（2011•濰坊二模）如圖，已知定點F（-1，0），N（1，0），以線段FN為對角線作周長是4

2

的平行四邊形MNEF．平面上的動點G滿足|

GO

|=2（O為坐標原點）
（I）求點E、M所在曲線C₁的方程及動點G的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）已知過點F的直線l交曲線C₁于點P、Q，交軌跡C₂于點A、B，若|

AB

|∈（2

3

，

15

），求△NPQ內切圓的半徑的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據橢圓的定義，可得曲線C₁是以F、N為焦點的橢圓，由題中數據即可求出曲線C₁的方程為

x2

2

+y²=1；再由圓的定義即可得到動點G的軌跡C₂的方程為x²+y²=4；
（II）由題意得直線l與x軸不垂直，設l方程為y=k（x+1），利用點到直線的距離公式結合垂徑定理，算出|AB|=2

3+ 1 1+k2

．設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），△NPQ內切圓半徑r滿足

1

2

|NF|•|y₁-y₂|=

1

2

•r•（|PN|+|PQ|+|QN|），結合題中數據得到r=

2

4

|y₁-y₂|，由直線方程與橢圓消去x，得關于y的二次方程，再利用根與系數的關系算出|y₁-y₂|關于k的式子，從而得到r關于k的函數關系式，結合函數的單調性討論可得r的取值范圍．

解答：解：（I）∵四邊形MNEF是平行四邊形，周長為4

2

∴點E到點F、N的距離之和等于2

2

（定長），且|NF|=2＜2

2

由橢圓的定義，得曲線C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
可得a=

2

，c=1，b²=a²-c²=1，
∴曲線C₁的方程為

x2

2

+y²=1
∵|

GO

|=2，∴動點G的軌跡為以原點為圓心，半徑為2的圓
即曲線C₂的方程為x²+y²=4；
（II）當l垂直x軸時，令x=-1代入曲線C₂的方程得y=±

3

∴|AB|=2

3

∉（2

3

，

15

），不符合題意
因此直線l與x軸不垂直，設l方程為y=k（x+1）
原點到直線l的距離為d=

|k|

1+k2

，
由圓的幾何性質，得到|AB|=2

r2-d2

=2

4- k2 1+k2

=2

3+ 1 1+k2

由|AB|∈（2

3

，

15

），解之得k²＞

1

3

聯解

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，消去x得（2+

1

k2

）y²-

2

k

y-1=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），△NPQ內切圓的半徑為r
可得y₁+y₂=

2 k

2+ 1 k2

=

2k

2k2+1

，y₁y₂=-

1

2+ 1 k2

=-

2k2

2k2+1

∵

1

2

|NF|•|y₁-y₂|=

1

2

•r•（|PN|+|PQ|+|QN|），其中|NF|=2，|PN|+|PQ|+|QN|=4

2

∴r=

2

4

|y₁-y₂|
而|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y 1y2

=

( 2k 2k2+1 )2+ 4k2 2k2+1

=

2[1- 1 (1+2k2)2 ]

∵k2＞

1

3

，∴1-

1

(2k2+1)2

＞

16

25

另外，因為1-

1

(2k2+1)2

＜1，即

4

5

2

＜|y₁-y₂|＜

2

，可得r=

2

4

|y₁-y₂|∈（

2

5

，

1

2

）
∴△NPQ內切圓的半徑的取值范圍為（

2

5

，

1

2

）．

點評：本題給出動點軌跡，求軌跡的方程并討論截得三角形內切圓半徑的取值范圍．著重考查了點到直線的距離公式、垂直定理、一元二次方程根與系數的關系和函數單調性等知識，屬于難題．