Question

過拋物線上的一點A（1，1）作拋物線的切線，分別交x軸于D，交y軸于B，點C在拋物線上，點E在線段AC上，滿足；點F在線段BC上，滿足， 且=1，線段CD與EF交于點P.當點C在拋物線上移動時，求點P的拋跡方程.

Answer 1

解一：過拋物線上點A的切線斜率為切線A B的方程、D的坐標為B（0，－1），D（，0），∴D是線段AB的中點.……………………5分

    設P（、C）、E（、

    F（，則由知，

    ;

    ，得.

    ∴EF所在直線方程為：，

    化簡得……①……10分

    當時，直線CD的方程為：……②

    聯立①、②解得，消去，得P點軌跡方程為：.……15分

    當時，EF方程為：，CD方程為：，

    聯立解得也在P點軌跡上，因C與A不能重合，.

    ∴所求軌跡方程為…………………………20分

解二：由解一知，AB的方程為故D是AB的中點.……5分

    令，則因AD為△ABC的中線，

   

    而，

    ∴P是△ABC的重心.……………………………………………………10分

    設P（、C），因點C異于A，則，故重心P的坐標為

消去，得

    故所求軌跡方程為………………………………20分