Question

已知sinα=

5

5

，α∈(0，

π

2

)，tanβ=

1

3

．
（1）求tanα的值；
（2）求tan（α+2β）的值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的角的范圍和正弦值，先求出這個角的余弦值，根據同角的三角函數的關系得到正切值，本題給出了角的范圍，使得解題過程簡單了．
（2）本題要求α+2β的正切值，上一問做出了α的正切值，條件中又給出β的正切值，先用正切的二倍角公式求出2β的正切值，再用兩角和的正切公式得到結果．

解答：解：（1）∵sinα=

5

5

，α∈(0，

π

2

)，
∴cosα=

1-sin2α

=

1- 1 5

=

2 5

5

．
∴tanα=

sinα

cosα

=

5 5

2 5 5

=

1

2

．
（2）∵tanβ=

1

3

，
∴tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

．
∴tan(α+2β)=

tanα+tan2β

1-tanαtan2β

=

1 2 + 3 4

1- 1 2 × 3 4

=2．

點評：本小題主要考查同角三角函數的基本關系、兩角和與差的正切等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法和運算求解能力．