Question

已知點A（-2，0），B（2，0）
（1）過點A斜率

3

3

的直線l，交以A，B為焦點的雙曲線于M，N兩點，若線段MN的中點到y軸的距離為1，求該雙曲線的方程；
（2）以A，B為頂點的橢圓經過點C（1，

3

2

），過橢圓的上頂點G作直線s，t，使s⊥t，直線s，t分別交橢圓于點P，Q（P，Q與上頂點G不重合）．求證：PQ必過y軸上一定點．

Answer 1

分析：（1）設出雙曲線、直線l的方程，聯立，確定線段MN的中點的橫坐標，結合A，B為焦點，即可求出雙曲線的標準方程；
（2）先確定橢圓的方程，設出直線s，t的方程與橢圓方程聯立，求出P，Q的坐標，可得PQ的方程，令x=0，即可得到結論．

解答：（1）解：設雙曲線的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），直線l的方程為y=

3

3

(x+2)
直線代入雙曲線方程，整理可得（3b²-a²）x²-4a²x-4a²-3a²b²=0
設M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4a2

3b2-a2

，∴

x1+x2

2

=

2a2

3b2-a2

∵線段MN的中點到y軸的距離為1，∴

2a2

3b2-a2

=1，∴a=b
∵A（-2，0），B（2，0）為焦點，∴a²+b²=4，∴a=b=

2

，
∴雙曲線的標準方程為

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）證明：設橢圓方程為

x2

4

+

y2

b′2

=1，代入C（1，

3

2

），可得

1

4

+

3

4b′2

=1，∴b′=1
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1，
∴橢圓的上頂點G（0，1），
設直線s的方程為y=kx+1，則直線t的方程為y=-

1

k

x+1
y=kx+1代入橢圓方程，可得（1+4k²）x²+8kx=0，∴x=0或x=-

8k

1+4k2

∴y=1或y=

1-4k2

1+4k2

，即P（-

8k

1+4k2

，

1-4k2

1+4k2

）
同理可得Q（

8k

4+k2

，

k2-4

4+k2

）
∴k_PQ=

k2-4 4+k2 - 1-4k2 1+4k2

8k 4+k2 + 8k 1+4k2

=

k2-1

5k

∴PQ的方程為y-

1-4k2

1+4k2

=

k2-1

5k

（x+

8k

1+4k2

）
令x=0，可得y=-

3

5

∴PQ必過y軸上一定點（0，-

3

5

）．

點評：本題考查雙曲線、橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．