Question

已知雙曲線x²－y²＝2的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的動直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,0).

(1)證明：·為常數(shù)；

(2)若動點(diǎn)M滿足＝＋＋(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

由條件，知F(2,0)，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

(1)當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)， 可知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2，)，(2，－)，

此時(shí)·＝(1，)·(1，－)＝－1.

當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是y＝k(x－2)(k≠±1)，

代入x²－y²＝2，有(1－k²)x²＋4k²x－(4k²＋2)＝0.

則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

于是·＝(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

＝(x₁－1)(x₂－1)＋k²(x₁－2)(x₂－2)

＝(k²＋1)x₁x₂－(2k²＋1)(x₁＋x₂)＋4k²＋1

＝－＋4k²＋1

＝(－4k²－2)＋4k²＋1＝－1.

綜上所述，·為常數(shù)－1.

(2)設(shè)M(x，y)，則＝(x－1，y)，＝(x₁－1，y₁)，＝(x₂－1，y₂)，

＝(－1,0).

由＝＋＋，得

，即.

于是線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，).

當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，＝＝，

即y₁－y₂＝(x₁－x₂).

又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線上，所以x－y＝2，x－y＝2，兩式相減，得(x₁－x₂)(x₁＋x₂)＝(y₁－y₂)(y₁＋y₂)，

即(x₁－x₂)(x＋2)＝(y₁－y₂)y.

將y₁－y₂＝(x₁－x₂)代入上式，化簡得x²－y²＝4.

當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，x₁＝x₂＝2，求得M(2,0)，也滿足上述方程.

所以點(diǎn)M的軌跡方程是x²－y²＝4.