Question

雙曲線x²-y²=8的左右焦點分別為F₁，F₂，點P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其右支上，且滿足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，則x₂₀₁₂的值是（　　）

• A．8040

  2

• B．80484

  2

• C．8048
• D．8040

Answer 1

分析：根據題意可求得P₁點的橫坐標x₁（就是右焦點F₂的橫坐標），利用兩點間的距離公式由|P_n+1F₂|=|P_nF₁|可求得x_n+1-x_n=4，從而利用等差數列的通項公式即可求得x₂₀₁₂的值．

解答：解：∵a²=8，b²=8，
∴c=4，即x₁=4，又|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，
∴(xn+1-4)2+yn+12=(xn+4)2+yn2，
即xn+12-8x_n+1+16+yn+12=xn2+8x_n+16+yn2，
∴（x_n+1+x_n）（x_n+1-x_n-4）=0，
由題意知，x_n＞0，
∴x_n+1-x_n=4，
∴{x_n}是以4為首項，4為公差的等差數列，
∴x₂₀₁₂=x₁+2011×4=4+8044=8048．
故選C．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，突出考查等差數列的通項公式，通過分析運算得到x_n+1-x_n=4是關鍵，也是難點，奧差化歸思想與運算能力，屬于中檔題．