Question

已知在數列{a_n}中，S_n是它的前n項和，且S_n+1=4a_n+2（n=1，2，.…），a₁=1。
（1）設b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…），求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）設，求證：數列{c_n}是等差數列。

Answer 1

證明：（1）∵S_n+1=4a_n+2，
∴S_n+2=4a_n+1+2，兩式相減，
得S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n（n=1，2，3…），
即a_n+2=4a_n+1-4a_n，
變形得a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∵b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…），
∴b_n+1=2b_n，
由S₂=a₁+a₂=4a₁+2，a₁=1，
得a₂=5，b₁=a₂-2a₁=3，
由此可知，數列{b_n}是首項為3，公比為2的等比數列，故b_n=3·2^n-1；
（2）∵
∴
將b_n=3·2^n-1代入得
由此可知，數列{c_n}是公差為的等差數列，
它的首項c₁，
故。