Question

（1）設、是不全為零的實數，試比較與的大小；

（2）設為正數，且，求證：.

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2)證明見解析．

【解析】

試題分析：(1)比較兩個數的大小，一般是用作差法，，下面就是確定與0的大小，是一個二次三項式，因此我們可用配方法配方，，由于不全為零，因此，從而有

；另外本題實質是比較與的大小，想到基本不等式，有(時取等號)，而，再討論下等號能否成立即可；(2)這是條件不等式的證明，而且已知與求證式都是對稱式，因此大膽想象等號成立時，各字母應該相等，事實上也正是在時取等號，接下來考慮不等式的證明，關鍵是條件怎么應用，這里我們償試把中的分子的1全部用代換 ，有，把這個分式展開重新分組為，下面易證．

試題解析：（1）解法1：-==      3分

因為、是不全為零的實數，所以，即>。     6分

解法2：當時， ；          2分

當時，作差：；

又因為、是不全為零的實數，所以當時，>。

綜上，>。         6分

（2）證明：當時，取得等號3。          7分

作差比較：

 

．

所以，           14分

考點：(1)比較兩個實數的大小；(2)條件不等式的證明．