Question

事實證明：總存在正實數a，b（a＜b），使得a^b=b^a，請你寫出所有符合條件的a的取值范圍是

（1，e）

．

Answer 1

分析：把等式兩邊取對數，變形，構造函數，根據函數的單調性和零點的相關知識即可得解．

解答：解：∵a^b=b^a
∴lna^b=lnb^a
又∵a，b是正實數
∴blna=alnb
∴

lna

a

=

lnb

b

，
設函數f（x）=

lnx

x

，則f′（x）=

1-lnx

x2

，
令f'（x）＞0，得0＜x＜e；令f'（x）＜0，得x＞e
∴f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減
又當x→+∞時，f（x）→0且f（x）＞0，
∴f（x）的圖象如圖所示：
又∵a＜b，
∴1＜a＜e．
故答案為：（1，e）．

點評：本題主要考查函數思想和數形結合思想，要求會用求導的方法確定函數的單調性．屬中檔題．