Question

（2008•楊浦區二模）（理）在平面直角坐標系xoy中，若在曲線C₁的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ為正實數）代替（x，y）得到曲線C₂的方程F（λx，λy）=0，則稱曲線C₁、C₂關于原點“伸縮”，變換（x，y）→（λx，λy）稱為“伸縮變換”，λ稱為伸縮比．
（1）已知曲線C₁的方程為

x2

9

-

y2

4

=1，伸縮比λ=2，求C₁關于原點“伸縮變換”后所得曲線C₂的方程；
（2）射線l的方程y=

2

2

x(x≥0)，如果橢圓C₁：

x2

16

+

y2

4

=1經“伸縮變換”后得到橢圓C₂，若射線l與橢圓C₁、C₂分別交于兩點A、B，且|AB|=

2

，求橢圓C₂的方程；
（3）對拋物線C₁：y²=2p₁x，作變換（x，y）→（λ₁x，λ₁y），得拋物線C₂：y²=2p₂x；對C₂作變換（x，y）→（λ₂x，λ₂y）得拋物線C₃：y²=2p₃x，如此進行下去，對拋物線C_n：y²=2p_nx作變換（x，y）→（λ_nx，λ_ny），得拋物線C_n+1：y²=2p_n+1x，…．若p1=1 ， λn=(

1

2

)n，求數列{p_n}的通項公式p_n．

Answer 1

分析：（1）由“伸縮變換”的伸縮比得

(2x)2

9

-

(2y)2

4

=1，從而即得曲線C₂的方程；
（2）根據C₂、C₁關于原點“伸縮變換”，對C₁作變換（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C₂

λ2x2

16

+

λ2y2

4

=1分別解方程組得點A，B兩點的坐標，最后利用兩點的距離公式得到關于λ的方程求出λ的值，即可寫出橢圓C₂的方程；
（3）先對C_n：y²=2p_nx作變換（x，y）→（λ_nx，λ_ny）得拋物線C_n+1：（λ_ny）²=2p_nλ_nx，結合y²=2p_n+1x得到：

pn+1

pn

=

1

λn

=2n，從而求得數列{p_n}的通項公式p_n．

解答：解（1）由條件得

(2x)2

9

-

(2y)2

4

=1，得C₂：

x2

9 4

-y2=1；（4分）
（2）∵C₂、C₁關于原點“伸縮變換”，對C₁作變換（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C₂

λ2x2

16

+

λ2y2

4

=1，（5分）
解方程組

y= 2 2 x (x≥0) x2 16 + y2 4 =1

得點A的坐標為(

4 3

3

，

2 6

3

)；（7分）
解方程組

y= 2 2 x (x≥0) λ2x2 16 + λ2y2 4 =1

得點B的坐標為(

4 3

3λ

，

2 6

3λ

)；（8分）
|AB|=

( 4 3 3λ - 4 3 3 )2+( 2 6 3λ - 2 6 3 )2

=

2 2 |λ-1|

|λ|

=

2

，化簡后得3λ²-8λ+4=0，解得λ1=2，λ2=

2

3

，因此橢圓C₂的方程為

x2

4

+y2=1或

x2

36

+

y2

9

=1．（12分）（漏寫一個方程扣2分）
（3）（理）對C_n：y²=2p_nx作變換（x，y）→（λ_nx，λ_ny）得拋物線C_n+1：（λ_ny）²=2p_nλ_nx，得y2=

2pn

λn

x，
又∵y²=2p_n+1x，∴pn+1=

pn

λn

，即

pn+1

pn

=

1

λn

=2n，（14分）

p2

p1

•

p3

p2

•

p4

p3

•…•

pn-1

pn-2

•

pn

pn-1

=2•2²•2³•…•2^n-1，則

pn

p1

=21+2+3+…+(n-1)=2

1

2

n(n-1)，（16分）
（或解：pn+1=2npn，pn=2n-1pn-1=…=2(n-1)+(n-2)+…+2+1p1=2

1

2

n(n-1)p1）p₁=1，
∴pn=2

1

2

n(n-1)．（18分）

點評：本小題主要考查圓錐曲線的標準方程、圓錐曲線簡單性質、數列與解析幾何的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．