Question

已知動點M到兩個定點F₁（-3，0），F₂（3，0）的距離之和為10，A、B是動點M軌跡C上的任意兩點．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）若原點O滿足條件

AO

=λ

OB

，點P是C上不與A、B重合的一點，如果PA、PB的斜率都存在，問k_PA•k_PB是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可知點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，其中a=5，c=3，b=

a2-c2

=4，由此能夠推導出點M的軌跡方程．
（2）設A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀）．設P（5cosθ，4sinθ），kPA=

y0-4sinθ

x0-5cosθ

，kPB=

-y0-4sinθ

-x0-5cosθ

=

y0+4sinθ

x0+5cosθ

，kPA•kPB=

y02-16sin2θ

x02-25cos2θ

．A在橢圓上，

x02

25

+

y02

16

=1，y02=16(1-

x02

25

)，由此能夠推導出k_PA•k_PB為定值-

16

25

．

解答：解：（1）設點M的坐標為（x，y），
∵|MF₁|+|MF₂|=10＞|F₁F₂|=6，
∴點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，
其中a=5，c=3，b=

a2-c2

=4，
故點M的軌跡方程為

x2

25

+

y2

16

=1，
（2）設A（x₀，y₀），當

AO

=λ

OB

時，
必有點A、B關于原點O對稱，
∴B（-x₀，-y₀）．
設P（5cosθ，4sinθ），
則kPA=

y0-4sinθ

x0-5cosθ

，kPB=

-y0-4sinθ

-x0-5cosθ

=

y0+4sinθ

x0+5cosθ

，
∴kPA•kPB=

y02-16sin2θ

x02-25cos2θ

．
∵A在橢圓上，∴

x02

25

+

y02

16

=1，∴y02=16(1-

x02

25

)，
∴kPA•kPB=

16(1- x02 25 )

x02-25cos2θ

=-

16

25

，
∴k_PA•k_PB為定值-

16

25

．

點評：本題綜合考查橢圓的性質及其應用和直線與橢圓的位置關系，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答，避免出現不必要的錯誤．