Question

已知圓C的方程為：x²+y²=4．
（Ⅰ）直線l過點P（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若|AB|=2

3

，求直線l的方程；
（Ⅱ）圓C上一動點M（x₀，y₀），

ON

=（0，y₀）若向量

OQ

=

OM

+

ON

，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分直線垂直于x軸和不垂直于x軸討論，當垂直于x軸時直接解出交點坐標，A，B距離可求，當不垂直于x軸時，設出直線方程，結合弦心距求出|AB|，由|AB|=2

3

求直線l的方程；
（Ⅱ）設出Q點可M點的坐標，寫出對應向量的坐標，由給出的向量等式得到Q和M的坐標的關系，由M點在圓上代入坐標整理后可得動點Q的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）①直線l垂直于x軸時，則此時直線方程為x=1，l與圓的兩個交點坐標為（1，

3

）和（1，-

3

），這兩點的距離為2

3

滿足題意．
②若直線l不垂直于x軸，設其方程為y-2=k（x-1），
即kx-y-k+2=0
設圓心到此直線的距離為d，則2

3

=2

4-d2

，得d=1
∴1=

|-k-2|

k2+1

，k=

3

4

，
故所求直線方程為3x-4y+5=0
綜上所述，所求直線方程為3x-4y+5=0或x=1；
（Ⅱ）設Q點的坐標為（x，y），M點坐標是（x₀，y₀），

ON

=(0，y0)，
∵

OQ

=

OM

+

ON

，
∴（x，y）=（x₀，2y₀），x0=x，y0=

y

2

∵x02+y02=4，∴x2+

y2

4

=4
即

x2

4

+

y2

16

=1．
∴Q點的軌跡方程是

x2

4

+

y2

16

=1．

點評：本題考查了直線的一般式方程，考查了直線和圓的位置關系，訓練了點到直線的距離公式，考查了利用代入法求曲線的方程，是中檔題．