Question

（本小題滿分14分）

從橢圓＋=1(a>b>0)上一點M向x軸作垂線,恰好通過橢圓的左焦點F₁,且它的長軸端點A及短軸端點B的連線AB平行于OM.

（Ⅰ）求橢圓的離心率 ；   

（Ⅱ）若b=2，設Q是橢圓上任意一點,F₂是右焦點,求△F₁QF₂的面積的最大值；

（Ⅲ）當QF₂^AB時,延長QF₂與橢圓交于另一點P,若DF₁PQ的面積為20(Q是橢圓上的點),求此橢圓的方程。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），因為，所以，所以

所以

（Ⅱ）

（Ⅲ），設橢圓方程為，與直線聯立可得

.

所以，所以橢圓方程為.

【解析】(I)要結合橢圓的通徑及直線平行斜率相等等知識建立關于a,b,c的方程，再結合a²=b²+c²,進而得到a與c的關系，從而求出離心率。

(II)由于b=2,由（I）知b=c,所以可把△F₁QF₂的面積S表示成關于Q的縱坐標的函數，然后根據縱坐標的范圍在[-2,2]之間進而確定S的最大值。

(III)根據離心率，對橢圓方程進行化簡變形為,然后與直線聯立，消去x后借助韋達定理，求出|PQ|的值。進而通過面積建立關于b的方程，求出b的值。要注意驗證判斷式是否大于零。