Question

已知函數（為常數）．
（1）若是函數的一個極值點，求的值；
（2）當時，試判斷的單調性；
（3）若對任意的，使不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）3；（2）在上是增函數；（3）.

試題分析：（1）先求函數的定義域，，在由可求得；（2）在中由于，判斷函數的正負號，從而確定函數在上的單調性；（3）當時，由(2)知，在[1，2]上的最小值為，
故問題等價于：對任意的，不等式恒成立．分離變量恒成立，構造函數
記，（），由導數法求解.
依題意，，
（1）由已知得：，∴，∴．（3分）
（2）當時，，
因為，所以，而，即，
故在上是增函數．（8分）
（3）當時，由(2)知，在[1，2]上的最小值為，
故問題等價于：對任意的，不等式恒成立．即恒成立
記，（），則，
令，則
所以，所以,
故，所以在上單調遞減所以
即實數的取值范圍為．（13分）