Question

（16分）設{a_n}是等差數列，其前n項的和為S_n.

（1）求證：數列為等差數列；

（2）設{a_n}各項為正數，a₁=，a₁≠a₂，若存在互異正整數m，n，p滿足：①m+p=2n；

②. 求集合的元素個數；

（3）設b_n=(a為常數，a>0，a≠1，a₁≠a₂)，數列{b_n}前n項和為T_n. 對于正整數c，

d，e，f，若c<d<e<f，且c+f=d+e， 試比較(T_c)^-1+(T_f)^-1與(T_d)^-1+(T_e)^-1的大小.

Answer 1

解析：【證】（1）{a_n}為等差數列，設其公差為，則

，于是（常數），

故數列是等差數列.                              …………………………3分

【解】（2）因為{a_n}為等差數列，所以是等差數列，

于是可設為常數)，從而.

因為m+p=2n，所以由兩邊平方得

，即，

亦即，………………………4分

于是，兩邊平方并整理得，即.                                  

 …………………………6分

因為m≠p，所以，從而，而a₁=，所以.

故.                                        …………………………7分

所以

.

因為15有4個正約數，所以數對（x，y）的個數為4個.

即集合中的元素個數為4.  ………………………9分

（3）因為（常數），

所以數列{b_n}是正項等比數列.

因為a₁≠a₂，所以等比數列{b_n}的公比q≠1.               ………………………10分

（解法一）  ①

.       ②

因為，所以要證②，只要證，   ③…………………13分

而③

.    ④

④顯然成立，所以③成立，從而有.…………………16分

（解法二）注意到當n>m時，.       ……………………12分

于是

. ……………………14分

而，故.   ……………………16分

（注：第（3）問只寫出正確結論的，給1分）