Question

 (本題滿分12分) 如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形
（1）求證：；
（2）設線段的中點為，在直線 上是否存在一點，使得？若存在，請指出點的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；
（3）求二面角正切值的大小。

Answer 1

（1）略
（2）略
（3）二面角正切值為

解：（Ⅰ）因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF. ……………………………………2分
因為⊿ABE為等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因為∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE. …………………3分
因為BC平面ABCD, BE平面BCE,
BC∩BE=B
所以  …………………………4分（II）取BE的中點N,連結CN,MN,則MNPC
∴PMNC為平行四邊形,所以PM∥CN.            ………6分   
∵CN在平面BCE內,PM不在平面BCE內,PM∥平面BCE ………8分         
（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延長線于G,則FG∥EA.從而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,連結FH,則由三垂線定理知BD⊥FH.
∴ ∠FHG為二面角F-BD-A的平面角. …………………10分
∵  FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°.
設AB=1,則AE=1,AF=,則
在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
,                                         
在Rt⊿FGH中, ,
∴ 二面角正切值為   ………………12分