Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B恰好是拋物線的焦點，且離心率等于，直線與橢圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C的右焦點F是否可以為的垂心？若可以，求出直線的方程；若不行，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

解析試題分析：（Ⅰ）設橢圓C的方程：，
由題意知，
∴ 橢圓C的方程為： 
（Ⅱ）假設存在這樣的直線，使得是的垂心，直線BF的斜率為，
從而直線的斜率為，設直線的方程為，
由，設
則，且，


，解得或 
當時點B為直線與橢圓的一個交點，不合題意舍去；
當時，直線與橢圓相交兩點，且滿足題意；
綜上可知直線的方程為時，橢圓C的右焦點F是可以為的垂心 。
考點：本題考查橢圓的基本性質、橢圓方程的求法以及直線與圓錐曲線的綜合問題。
點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問題的做法，為圓錐曲線的常規題，應當掌握。考查了學生綜合分析問題的能力，知識的遷移能力以及運算能力。解題時要認真審題，仔細分析。