Question

若存在實常數和，使得函數和對其定義域上的任意實數分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對數的底數)．

（1）求的極值；

（2）函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，取極小值，其極小值為（2）函數和存在唯一的隔離直線

【解析】

試題分析：(1) ，

．        

當時，．                     

當時，，此時函數遞減； 

當時，，此時函數遞增；

∴當時，取極小值，其極小值為．   …………………………………6分   

(2)解法一：由（1）可知函數和的圖象在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．          

設隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．                                

由，可得當時恒成立．

，                             

由，得．                       

下面證明當時恒成立．

令，則

，                

當時，．

當時，，此時函數遞增；

當時，，此時函數遞減；

∴當時，取極大值，其極大值為．   

從而，即恒成立．            

∴函數和存在唯一的隔離直線．……………12分 

解法二： 由(1)可知當時， (當且僅當時取等號) ．

若存在和的隔離直線，則存在實常數和，使得

和恒成立，

令，則且

，即．                    

后面解題步驟同解法一．

考點：函數求極值及利用函數求解不等式恒成立問題

點評：求函數極值要首先確定定義域，通過導數等于零找到極值點，但要說明是極大值還是極小值，第二問中將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題，這種轉化思路是函數綜合題中常用的思路，其中找到函數和的圖象在處有公共點是求解的關鍵