Question

有下列命題：
①若函數h(x)=cos4x-sin4x，則h′(

π

12

)=-1；
②若函數f（x）在R存在導函數，則f′（2x）=[f（2x）]'；
③若函數g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012）（x-2013），則g′（2013）=2012!；
④若三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值”的充要條件．
其中真命題的序號是______．

Answer 1

①∵h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=cos2x，
∴h′（x）=-2sin2x，
∴h′（

π

12

）=-2sin

π

6

=-1，故①正確；
②[f（2x）]′=f′（2x）（2x）′=2f′（2x），故②錯誤；
③∵g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），
∴g′（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2012）]+（x-2013）?[（x-1）（x-2）…（x-2012）]′
∴g′（2013）=（2013-1）（2013-2）•…•（2013-2012）
=1×2×…×2012
=2012!，
∴③正確；
④三次函數的導數f′（x）=3ax²+2bx+c，要使f（x）有極值點，則f′（x）=3ax²+2bx+c=0有兩個不等的實根，即△=b²-3ac＞0，當a=b=c=0時，△=0，不成立，
∴④錯誤；
綜上所述，真命題的序號是①③．
故答案為：①③．