Question

已知A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅},B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²，a₅²}, a_i∈N（i=1,2,3,4,5）
設a₁<a₂<a₃<a₄<a₅且A∩B={a₁,a₄}，a₁+a₄=10，又A∪B元素之和為224，
求：（1）a₁，a₄ （2）A

Answer 1

（1）a₁ =1，a₄=9，（2）A={1，3，4，9，10}

（1）∵A∩B={a₁,a₄}且a₁+a₄=10，即兩個完全平方數的和為10，
                               ……4分
（2）∵A∪B的元素之和為224，即a₂+a₃+a₅+a₁²+a₂²+a₃²+a₄²+a₅²=224，
而a₁²+a₄²="82" ∴a₂+a₃+a₅+a₂²+a₃²+a₅²="142                 " ……8分
∵a₄=9<a₅若a₅=11，則a₂+a₃+a₂²+a₃²=10這不可能
∴a₅="10                                             " ……12分
∴a₂+a₃+a₂²+a₃²=32
若a₃²=a₄=9得a₂+a₂²="20 " ∴a₂=4>a₃ (矛盾)
從而a₂=3，a₃=4
∴A={1，3，4，9，10}                               ……14分