Question

已知橢圓的方程為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，b）.

（1）若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).若，證明：為的中點(diǎn)；

（3）對于橢圓上的點(diǎn)Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點(diǎn)、滿足,寫出求作點(diǎn)、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

Answer 1

解析：(1) ；
(2) 由方程組，消y得方程，
因?yàn)橹本�交橢圓于、兩點(diǎn)，
所以D>0，即，
設(shè)C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)，CD中點(diǎn)坐標(biāo)為(x₀,y₀)，
則，
由方程組，消y得方程(k₂-k₁)x=p，
又因?yàn)?sub>，所以，
故E為CD的中點(diǎn)；
(3) 求作點(diǎn)P₁、P₂的步驟：1°求出PQ的中點(diǎn)，
2°求出直線OE的斜率，
3°由知E為CD的中點(diǎn)，根據(jù)(2)可得CD的斜率，
4°從而得直線CD的方程：，
5°將直線CD與橢圓Γ的方程聯(lián)立，方程組的解即為點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)．
欲使P₁、P₂存在，必須點(diǎn)E在橢圓內(nèi)，
所以，化簡得，，
又0<q <p，即，所以，
故q 的取值范圍是．