Question

（本題滿分12分）、若函數y=f(x)是周期為2的偶函數,當x∈［2,3］時,f(x)=x－1.在y=f(x)的圖象上有兩點A、B,它們的縱坐標相等,橫坐標都在區間［1,3］上,
(1)求當x∈［1,2］時,f(x)的解析式;
(2)定點C的坐標為(0,a)(其中2<a<3),求△ABC面積的最大值.

Answer 1

(1)當x∈［1,2］時,f(x)=f(x－2)=－(x－2)+1=－x+3.
(2)當t=時,S_最大值=

本試題主要是考查了函數的奇偶性和函數的解析式以及函數的最值的綜合運用。
（1）因為∵f(x)是以2為周期的周期函數,當x∈［2,3］時,f(x)=x－1,
∴當x∈［0,1］時,f(x)=f(x+2)=(x+2)－1=x+1.
∵f(x)是偶函數,∴當x∈［－1,0］時,f(x)=f(－x)=－x+1,
當x∈［1,2］時,f(x)=f(x－2)=－(x－2)+1=－x+3.
（2）利用條件可設A、B的橫坐標分別為3－t,t+1,1≤t≤2,則|AB|=(t+1)－(3－t)=2t－2，然后運用坐標表示三角形的面積。
(1)∵f(x)是以2為周期的周期函數,當x∈［2,3］時,f(x)=x－1,
∴當x∈［0,1］時,f(x)=f(x+2)=(x+2)－1=x+1.
∵f(x)是偶函數,∴當x∈［－1,0］時,f(x)=f(－x)=－x+1,
當x∈［1,2］時,f(x)=f(x－2)=－(x－2)+1=－x+3.
(2)設A、B的橫坐標分別為3－t,t+1,1≤t≤2,則|AB|=(t+1)－(3－t)=2t－2,∴△ABC的面積為S=(2t－2)·(a－t)=－t²+(a+1)t－a(1≤t≤2)=－(t－)²+
∵2<a<3,∴<<2.當t=時,S_最大值=