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已知函數(shù)f（x）=ax-lnx
（I）當(dāng)a=1時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求f（x）在[1，e]上的最大值與最小值．
（I）當(dāng)a=1時，f（x）=x-lnx（x＞0），
f′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
．
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x=1時f（x）取得極小值，也是最小值為f（1）=1．
（II）由f（x）=ax-lnx（x＞0）．
則f′(x)=a-
1
x
=
ax-1
x
．
由f′（x）＞0，得x＞
1
a
，由f′（x）＜0，得0＜x＜
1
a
．
所以f（x）在(0，
1
a
)上為減函數(shù)，在(
1
a
，+∞)上為增函數(shù)．
當(dāng)0＜a≤
1
e
時，fmin=f（e）=ae-1，
fmax
=f(1)=a．
當(dāng)
1
e
＜a≤
1
e-1
時，fmin=f(
1
a
)=1+lna，
fmax
=f(1)=a．
當(dāng)
1
e-1
＜a＜1時，fmin=f(
1
a
)=1+lna，
fmax
=f(e)=ae-1．
當(dāng)a≥1時，fmin=f（1）=a，
fmax
=f(e)=ae-1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若曲線C：y=x3-2ax2+2ax上任意點處的切線的傾斜角都為銳角，那么整數(shù)a的值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)f(x)=
ex
1+ax2
，其中a為正實數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)a=
4
3
時，求f（x）的極值點；
（Ⅱ）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

記an為(1+x)n+1的展開式中含xn-1項的系數(shù)，則
lim
n→∞
(
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
)=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如果函數(shù)f（x）在x=x0處取得極值，則點（x0，f（x0））稱為函數(shù)f（x）的一個極值點．已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，a，b，c，d∈R）的一個極值點恰為坐標(biāo)系原點，且y=f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-1=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+ax+b（a，b∈R）在x=2處取得極小值-
4
3
．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=
1+lnx
x
．
（1）設(shè)a＞0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+
1
2
）上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果當(dāng)x≥1時，不等式f（x）≥
k2-k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)0＜x＜y＜e2且x≠e時，試比較
y
x
與
1-lny
1-lnx
的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）若函數(shù)y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為1，求a的值；
（2）在（1）的條件下，對任意t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x3+x2[
m
2
+f′（x）]在區(qū)間（t，3）總存在極值，求m的取值范圍；
（3）若a=2，對于函數(shù)h（x）=（p-2）x-
p+2e
x
-3在[1，e]上至少存在一個x0使得h（x0）＞f（x0）成立，求實數(shù)P的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案