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已知點D（0，-2），過點D作拋物線C1：x2=2py（p＞0）的切線l，切點A在第二象限，如圖
（Ⅰ）求切點A的縱坐標；
（Ⅱ）若離心率為
3
2
的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恰好經過切點A，設切線l交橢圓的另一點為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求橢圓方程．
（Ⅰ）設切點A（x0，y0），且y0=
x02
2p
，
由切線l的斜率為k=
x0
p
，得l的方程為y=
x0
p
x-
x02
2p
，又點D（0，-2）在l上，
∴
x02
2p
=2，即點A的縱坐標y0=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(-2
p
，2)，切線斜率k=-
2
p
，
設B（x1，y1），切線方程為y=kx-2，由e=
3
2
，得a2=4b2，…（7分）
所以橢圓方程為
x2
4b2
+
y2
b2
=1，且過A(-2
p
，2)，∴b2=p+4…（9分）
由
y=kx-2
x2+4y2=4b2
⇒(1+4k2)x2-16kx+16-4b2=0，∴
x0+x1=
16k
1+4k2
x0x1=
16-4b2
1+4k2
，…（11分）k1+2k2=
y0
x0
+
2y1
x1
=
x1y0+2x0y1
x0x1
=
x1(kx0-2)+2x0(kx1-2)
x0x1
=3k-
2x1+4x0
x0x1

=3k-
2(x1+x0)+2x0
x0x1
=3k-
32k
1+4k2
-4
p
16-4b2
1+4k2
=3k-
32k-4
p
(1+4k2)
16-4b2
=4k
將k=-
2
p
，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，
橢圓方程為
x2
144
+
y2
36
=1．…（15分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
45
+
y2
20
=1的焦點分別為F1和F2，過原點O作直線與橢圓相交于A，B兩點．若△ABF2的面積是20，則直線AB的方程是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A（-
2
，0）、B（
2
，0），離心率e=
2
2
．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|PC|=（
2
-1）|PQ|．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點，且|MN|=
8
2
7
，求直線MN的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C過點P（1，
3
2
），兩個焦點分別為F1（-1，0），F2（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F1的直線交橢圓于A、B兩點，求線段AB的中點的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(1，
2
2
)，離心率為
2
2
，左、右焦點分別為F1、F2．點P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點．設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）證明：
1
k1
-
3
k2
=2；
（Ⅱ）問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

直線L：
x
4
+
y
3
=1與橢圓E：
x2
16
+
y2
9
=1相交于A，B兩點，該橢圓上存在點P，使得△PAB的面積等于3，則這樣的點P共有（　　）
A．1個B．2個C．3個D．4個

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓C1的方程為(x-2)2+(y-1)2=
20
3
，橢圓C2的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），C2的離心率為
2
2
，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

過（2，0）點且傾斜角為60°的直線與橢圓
x2
5
+
y2
3
=1相交于A，B兩點，則AB中點的坐標為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知點P(-1，
3
2
)是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點，F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF1⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設A、B是橢圓E上兩個動點，是否存在λ，滿足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距離為
5
？若存在，求λ值；若不存在，說明理由．

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同步練習冊答案