Question

已知：函數
（I）求f（x）的單調區間；
（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出函數的定義域，進而根據函數的解析式，求出函數的導函數，分析導函數符號在不同區間上的取值，根據導函數符號與原函數的單調性之間的關系可得結論；
（II）若f（x）＞0恒成立，則f（x）的最小值大于0，根據（I）中結論，求出函數的最小值，代入構造關于a的不等式，解不等式可得a的取值范圍
解答：解：（I）∵函數的定義域為（0，+∞）
∴==
∵a＞0，令f′（x）=0，則x=-a（舍去），或x=2a
∵當x∈（0，2a）時，f′（x）＜0，∵當x∈（2a，+∞）時，f′（x）＞0，
∴（0，2a）為函數的單調遞減區間，
（2a，+∞）為函數的單調遞增區間；
（II）由（I）得當x=2a時，函數取最小值4a²-2a²ln（2a）
若f（x）＞0恒成立
則4a²-2a²ln（2a）=2a²•[2-ln（2a）]＞0
即2-ln（2a）＞0
解得a＜
又∵a＞0，
∴a的取值范圍為（0，）
點評：本題考查的知識點是利用導數求函數的單調區間和最值，其中熟練掌握導函數符號與原函數的單調性之間的關系，是解答的關鍵．