Question

已知函數 f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）當a=2時，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程及函數f（x）的單調區間．
（2）設f（x）在[1，2]上的最小值為g（a），求y=g（a）的解析式．

Answer 1

解：（1）求導函數，可得（x＞0），則f′（1）=-1，f（1）=-2
∴切線方程：y-（-2）=-1（x-1），即y=-x-1
（x＞0），
令，得；令，得
故函數f（x）的單調遞增區間為，單調減區間是．
（2）①當，即a≥1時，函數f（x）在區間[1，2]上是減函數，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（10分）
②當，即時，函數f（x）在區間[1，2]上是增函數，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（12分）
③當，即時，函數f（x）在上是增函數，在是減函數．
又f（2）-f（1）=ln2-a，
∴當時，最小值是f（1）=-a；
當ln2≤a＜1時，最小值為f（2）=ln2-2a．
綜上可知，當0＜a＜ln2時，函數f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
當a≥ln2時，函數f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．
即（14分）
分析：（1）求導函數，可得f′（1）=-1，f（1）=-2，從而可得切線方程；令，得；令，得，從而可得函數的單調區間；
（2）分類討論：①當，即a≥1時，函數f（x）在區間[1，2]上是減函數；②當，即時，函數f（x）在區間[1，2]上是增函數；③當，即時，函數f（x）在上是增函數，在是減函數，比較f（2）與f（1）的大小，即可得到結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查函數的最值，解題的關鍵是正確求導，合理分類．