Question

（2012•藍山縣模擬）已知函數f（x）=

-x3+x2+bx+c，(x＜1) alnx，(x≥1)

和圖象過坐標原點O，且在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．
（1）求實數b，c的值；
（2）求函數f（x）在區間[-1，1]上的最小值；
（3）若函數y=f（x）圖象上存在兩點P，Q，使得對任意給定的正實數a都滿足△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上，求點P的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數，根據函數在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5，圖象過坐標原點，即可求得實數b，c的值；
（2）當x＜1時，f（x）=-x³+x²，求導函數，確定函數的單調性，計算函數值，從而可得函數f（x）在區間[-1，1]上的最小值；
（3）設P（x₁，f（x₁）），因為PQ中點在y軸上，所以Q（-x₁，f（-x₁）），根據OP⊥OQ，可得

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，分類討論，確定函數的解析式，利用

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，即可求得結論．

解答：解：（1）當x＜1時，f（x）=-x³+x²+bx+c，∴f′（x）=-3x²+2x+b
∵函數在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5，∴f′（-1）=-5
∴-3-2+b=-5，∴b=0
∵f（0）=0，∴c=0
∴b=0，c=0
（2）當x＜1時，f（x）=-x³+x²，∴f′（x）=-3x²+2x
令f′（x）=0有-3x²+2x=0，∴x=0或x=

2

3

令f′（x）＞0，可得0＜x＜

2

3

；令f′（x）＜0，∵-1≤x≤1，∴-1≤x＜0或

2

3

＜x≤1
∴函數在-1，0，

2

3

，1出取得最值
∵f（-1）=2，f（0）=0，f（

2

3

）=

4

27

，f（1）=0
∴函數f（x）在區間[-1，1]上的最小值為0；
（3）設P（x₁，f（x₁）），因為PQ中點在y軸上，所以Q（-x₁，f（-x₁）），
∵OP⊥OQ，∴

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1
①當x₁=1時，f（x₁）=0；當x₁=-1時，f（-x₁）=0，∴

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

≠-1；
②當-1＜x₁＜1時，f（x₁）=-x13+x12，f（-x₁）=x13+x12，代入

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，可得(-x13+x12)(x13+x12)=x12，∴x14-x13+1=0，無解；
③當x₁＞1時，f（x₁）=alnx₁，f（-x₁）=x13+x12，代入

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，可得

1

a

=(x1+1)lnx1；
設g（x₁）=（x₁+1）lnx₁（x₁＞1），∴g′（x₁）=lnx₁+

x1+1

x1

＞0，∴g（x₁）是增函數
∵g（1）=0，∴g（x₁）值域是（0，+∞）
∴對任意給定的正實數a，

1

a

=(x1+1)lnx1恒有解，滿足條件
④由P，Q橫坐標的對稱性可得，當x₁＜-1時，f（x₁）=-x13+x12，f（-x₁）=aln（-x₁），
代入

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，可得

1

a

=(-x1+1)ln(-x1)
設h（x₁）=（-x₁+1）ln（-x₁）（x₁＜-1），∴h′（x₁）=-ln（-x₁）-

x1-1

x1

＜0，∴h（x₁）是減函數
∵h（-1）=0，∴h（x₁）值域是（0，+∞）
∴對任意給定的正實數a，

1

a

=(-x1+1)ln(-x1)恒有解，滿足條件
綜上所述，滿足條件的點P的橫坐標的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，正確分類，靈活運用導數是關鍵．