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已知曲線C是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的右支，它的右準線方程l：x＝，l與x軸交于E，一條漸近線方程是y＝x，線段PQ是過曲線C右焦點F的一條弦．

(1)求曲線C的方程；

(2)若R為PQ中點，且在直線l的左側能作出直線m：x＝a，使點R在直線m上的射影S滿足＝0，當P在曲線C上運動時，求a的取值范圍；

(3)若過P作PM∥x軸交l于M，連MQ交x軸于H，求證H平分EF．

答案：
解析：

　　(1)x2－＝1　(x≥1)　　4分

　　(2)·＝0即PS⊥QS，|RS|＝|PQ|　　6分

　　2[－a]＝e(x1－)＋e(x2－)

　　x1＋x2＝2－2a，又x1＋x2≥4　　∴a≤－1　　10分

　　(3)PQ⊥x軸時，P(2，3)Q(2，－3)　　M(，3)

　　MQ方程y＝－4x＋5　令y＝0，xH＝＝(xE＋xF)　　12分

　　PQ不垂直于x軸時，M(，y1)　Q(x2，y2)　P(x1，y1)

　　PQ方程

　　(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0

　　

　　MQ方程y－y1＝(x－)

　　令y＝0　　　14分

　　即證：

　　展開得　即證：5(x1＋x2)－4x1x2－4＝0

　　將代入恒成立

　　即MQ恒過(，0)點，即H為EF的中點

　　綜上獲證　16分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x 軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y=
1
8
x2的焦點，離心率等于
5
3

（1）求橢圓C的方程；
（2）過點（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，是否存在這樣的直線l，使
OA
•
OB
=0？若存在，求出直線l的方程，若不存在，試說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

曲線C是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的右支，已知它的右準線方程為l：x=
1
2
，一條漸近線方程是y=
3
x，線段PQ是過曲線C右焦點F的一條弦，R是弦PQ的中點．
（1）求曲線C的方程；
（2）當點P在曲線C上運動時，求點R到y軸距離的最小值；
（3）若在直線l的左側能作出直線m：x=a，使點R在直線m上的射影S滿足
PS
•
QS
=0．當點P在曲線C上運動時，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

曲線C是中心在原點，焦點為（2，0）的雙曲線的右支，已知它的一條漸近線方程是y=
3
x．線段PQ是過曲線C右焦點F的一條弦，R是弦PQ的中點．
（I）求曲線C的方程；
（II）當點P在曲線C上運動時，求點R到y軸距離的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•寧波模擬）曲線C是中心在原點，焦點為F(
5
，0)的雙曲線的右支，已知它的一條漸近線方程是y=
1
2
x．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知點E（2，0），若直線l與曲線C交于不同于點E的P，R兩點，且
EP
•
ER
=0，求證：直線l過一個定點，并求出定點的坐標．

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