Question

已知曲線C是到點和到直線距離相等的點的軌跡，l是過點Q（-1，0）的直線，M是C上（不在l上）的動點；A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x軸（如圖）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求出直線l的方程，使得為常數．

Answer 1

【答案】分析：（I）設N（x，y）為C上的點，進而可表示出|NP|，根據N到直線的距離和|NP|進而可得曲線C的方程．
（II）先設，直線l：y=kx+k，進而可得B點坐標，再分別表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根據|QA|²=|QM|²-|AM|²求得k．
解答：解：（I）設N（x，y）為C上的點，則，
N到直線的距離為．
由題設得，
化簡，得曲線C的方程為．

（II）設，直線l：y=kx+k，則B（x，kx+k），從而．
在Rt△QMA中，因為=，．
所以，
∴，
．
當k=2時，，
從而所求直線l方程為2x-y+2=0．
點評：本題主要考查求曲線軌跡方程，兩條直線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．