Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c和一次函數g（x）=-bx，其中a，b，c∈R．且滿足a＞b＞c，f（1）=0．
（Ⅰ）證明：當a=3、b=2時函數f（x）與g（x）的圖象交于不同的兩點A，B．
（Ⅱ）若函數F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值是9，最大值為21，試求a，b的值．

Answer 1

分析：（I）由已知中二次函數f（x）=ax²+bx+c和一次函數g（x）=-bx，分別求出當a=3、b=2時函數f（x）與g（x）的解析式，聯立方程后，易根據二次方程根的個數及△的關系，得到答案．
（II）由題意可得F（x）=ax²+2bx+c，我們可根據二次函數在閉區間上的最值求法，結合函數F（x）在[2，3]上的最小值是9，最大值為21，構造關于a，b的方程，解方程即可求出答案．

解答：證明：（Ⅰ）由已知3x²+2x+c=-2x
即3x²+4x+c=0．且a+b+c=0，所以c=-5（2分）
△=4b²-4ac＞0
因此函數f（x）與g（x）圖象交于不同的兩點A、B．（6分）
解：（Ⅱ）由題意知，F（x）=ax²+2bx+c
∴函數F（x）的圖象的對稱軸方程為∵x=-

b

a

又∵a+b+c=0
∴x=

a+c

a

=1+

c

a

＜1（8分）
又a＞0
∴F（x）在[2，3]單增
∴

f(2)=9 f(3)=21

（10分）
即

3a+3b=9 8a+5b=21

∴

a=2 b=1

（12分）

點評：本題考查的知識點是二次函數圖象與性質，二次函數在閉區間上的最值，熟練掌握二次函數的圖象與性質，是解答本題的關鍵．